来源：iStructure微信公众号
悬臂梁在端部集中力作用下的力流
在静力学领域，结构是要将力传递到目的地，即结构工程师通过材料的组装引导力流的传递。
力流从一个点传递到另一个点，可选的路径很多。那么，沿哪条路径传递才是最优的呢？或者怎样判断结构效率的高低？这是本文要讨论的问题。
首先看一个概念——“应变能”。
应变能
应变能是什么？我们从两个角度看。
从结构外部看，外力所做的功以应变能的形式存储于结构内，结构的应变能等于外力与结构变形的乘积。
式中：C为结构的应变能；P为结构所受外力；U为结构在外力P处的变形。
（1）式可以写为：
其中，1/U为结构刚度，假设荷载是一个常量，则应变能C越小，表示结构的刚度越大。因此，在相同荷载下，应变能最小表示该结构刚度最大。
从结构内部看，应变能是应变能密度对体积的积分。
c为应变能密度，应变能密度定义如下：
式中：σ为应力，ε为应变，λ为应力比。
式（3）可改写为下式：
应力比代表结构的应力水平，而结构所用材料的体积即为结构的材料用量。因此，由式（5）可见，应变能反映的是应力比水平与材料用量之间的一个关系。
在材料用量一定的情况下，结构应变能越小，表示应力比水平越低；在应力比水平一定的情况下，结构应变能越小，表示材料用量越低。
综上所述，如果我们以材料的用量来评价结构传力效率（即荷载和边界条件相同的情况下，材料用量少，结构效率高；材料用量多，结构效率低），那么“应变能”可以作为结构传力效率的指标。
应变能作为结构传力效率指标的前提条件
要得到上面的结论，须有以下两条假定：
a）以上论断都只有在应力不超过材料弹性极限，以及不考虑几何非线性、稳定的前提下才能成立，也就是说，只适用于线弹性范围之内。
b）因为推导中采用应力比λ表征了截面应力水平，所以以上结论仅在截面应力分布完全均匀（轴拉或轴压）的情况下成立。
因为对于受轴力的构件，应力在截面上、轴力在杆件长度上都分布均匀。但是对于受弯构件，应力在截面上分布是不均匀的；而且在受横向力弯曲时，弯矩沿杆件长度的分布也并不均匀。
对于实际工程，由于需要考虑的因素非常多（比如建筑的功能、美观要求），结构工程师必须在某些地方进行妥协。怎样达到综合效益的最佳，本文不作讨论。
应变能的概念分析
在式（5）的基础上，进一步简化公式。
假设结构的每一根杆件应力比均相同，即λ为定值。则式（5）可以简化为下式。
由式(6)可知，应变能C与应力比的平方成正比,是一个标量。因此，计算应变能时，力流不区分拉力还是压力，均为正。
由V=∑A×L（A为横截面面积，L为杆件长度）可得：
假设杆件均在同一应力水平下（即应力比相同），则杆件的轴力与横截面面积成正比：
将式(8)代入式(7)中，则：
假设R为一定值：
将式(10)代入式(9)中，则：
式（11）的物理意义为：一个结构的应变能与力流大小及力流走过的长度成正比。因此，传力越直接，应变能越小。
所以，力沿刚度最大的路径传递，而力沿最短路径传递是最有效率的。
讨论
示例1：有两根相互铰接的二力杆，两端是铰接支座，假设结构高度为H，H为常数，θ作为变量，中间受到一个竖直向下的集中力F作用，如图1所示。
图1 二力杆示例计算简图
结构应变能：
单根杆件轴力：
单根杆件变形：
整个结构应变能：
所以，θ=90°时，结构的应变能最小，即可认为此时结构效率最高。
示例2：有两根相互铰接的二力杆，两端是铰接支座，支座间距为2L，假设L为常数（示例1中H为常量），θ为变量，中间受到一个竖直向下的集中力F作用，如图2所示。
图2 二力杆示例计算简图
结构应变能：
单根杆件轴力：
单根杆件变形：
整个结构应变能：
通过Matlab可以求出上式的最小正值。
假设
可得，函数的极值点为x=0.9553，对应极值为f(x)=2.5981。函数图形如图3所示。
图3 f(x)的函数图形
综上所述，θ=0.9553rad（54.762°）时，结构应变能取得最小值。结构效率是在θ=54.762°时最高。
那么问题来了，这是两个形状相同的结构，为什么根据应变能判断的结构效率会不一样？这个留给大家讨论。下一篇小i会把自己的理解梳理出来，供大家讨论。
概念性的小结
▲力沿刚度最大的路径传递，但并不代表刚度最大的路径结构效率最高。最短的路径才是力流传递是最有效率的，材料是最省的。
▲应变能可以代表结构的材料用量，因此结构优化中可以将它作为优化指标。关于结构优化的内容在此不展开，会在以后的文章中论述。
结构优化解的多样性
仍然使用经典二力杆案例进行分析。
示例：有两根相互铰接的二力杆，两端是铰接支座，支座间距为2L，假设L为常数，θ为变量，中间受到一个竖直向下的集中力F作用，如图1所示。
图1 二力杆示例计算简图
单根杆件轴力：
单根杆件变形：
整个结构应变能：
1）截面为常量，应力为变量
这个假定在上一篇示例中没有明确，在此强调一下。如给您带来困惑，表示歉意。则求解应变能的极值就是求解以下函数的极值：
以上函数的极值点为x=0.955，对应极值为f(x)=2.5981。
所以假设杆件截面不变，当θ=54.76°时，应变能最低，结构刚度最大。
2）应力为常量，截面为变量
假设应力为常量，那么截面积A就是一个随θ变化的变量。
应变能的表达式就要改写为如下：
由上式可知，应变能在θ=45°时最小。即控制杆件应力水平相同，当θ=45°时，应变能最低，结构材料用量最小。
3）H为常量，L为变量
上一篇示例1）中已有推导，在此仅给出结论。应变能的表达式如下：
可见，应变能在θ=90°时最小。所以，如果截面恒定，θ=90°时结构刚度最大；如果应力比恒定，θ=90°时材料用量最小。
以上都是以应变能为优化目标，但是当约束条件不同时，得到的结果不同。若进一步改变优化目标，看下优化的结果是什么？
4）截面不变，考虑压杆稳定，以最大承载力为优化目标
首先欧拉公式为：
将杆件长度与L和θ的关系代入上式，可得：
进而可以得到外力F与θ的关系：
由上式可知，θ=35.26°时，相同的杆件截面可以承受最大的外力F。
可见，不同的约束条件、不同的优化目标，得到的结构形态都是不同的。小i在实际的优化实践中觉得，假定截面为常量进行优化比较可行。
比如在进行形态优化时，将截面设定为常量将会减少非常多的优化变量，这样仅需将优化变量设定为节点坐标，计算工作量大大下降。而这样做可以得到一个相对较优的解。下图即为采用该种方法进行形态优化的一个示例。
结构效率系数—结构效率的另一个指标
之前探讨了应变能作为作为结构效率的评价指标，但是小i还想探讨结构效率的另一个指标，我称之为“结构效率系数”。这个指标的物理意义存疑，但小i仍觉值得讨论。
如果我们将结构的传力类比于“工作总量”和“工作时间”，我们是不是能够将结构效率类比于“工作效率”呢？
“工作总量”——外力势能(W)
我们将外力F与外力到传力目的地的距离s的乘积定义为外力势能W：
规定：支座位置为外力的势能零点。
“结构的工作时间”——结构应变能(C)
在应力比水平相同的情况下，我们用应变能的大小反映结构传递外力所要耗费的材料。
“工作效率”——结构效率系数(μ)
结构效率系数=外力势能/结构应变能
μ=W/C
基于此，再看以下示例：有两根相互铰接的二力杆，两端是铰接支座，支座间距为2L，假设L为常数，θ为变量，中间受到一个竖直向下的集中力F作用，如图2所示。
图2 二力杆示例计算简图
外力势能：
结构应变能：
结构效率系数：
可见，不管是应力比为常量还是截面面积为常量，都是θ=90°时结构效率系数最高。
但是，θ=90°，外力势能趋于无穷大，材料用量也趋于无穷大。
假设H为常量，L为变量
外力势能：
W=FH（定值）
结构应变能：
结构效率系数：
由上式可得，θ=90°时，结构效率系数最大，同时，结构应变能最小。
可见，如果以“结构效率系数”为指标，则用应变能优化得到的不同解统一为一个解。关于这个指标中的“外力势能”，小i解释不清。对于一根悬臂梁，在自由端作用一个集中力，外力势能应该是力与力臂的乘积。但通常我们认为，力与力臂的乘积是力矩。虽然小i知道，力矩是矢量、势能是标量。但巧的是，他们的单位都是kN.m。所以，小i觉得这两个物理量之间是不是统一的？但目前为止，还没想通。如果您有想法，欢迎留言。
弗雷·奥托研究轻型结构时，也采用了类似的指标来研究结构的受力效率。他认为“力臂、力传递距离、输送能力等专业名词，他们有着相同的基本意义”。有兴趣的朋友可以查阅《轻型建筑与自然设计—弗雷·奥托作品全集》。
小结
▲力沿刚度最大的路径传递，但并不代表刚度最大的路径结构效率最高。最短的路径才是力流传递是最有效率的，材料是最省的或刚度是最大的。
▲应变能可以一定程度代表结构的材料用量和结构刚度，因此结构优化中可以将它作为优化指标，且建议实际优化中假定截面是不变的。
▲不同的约束条件、不同的优化目标所导致的优化结果可能不一样。优化得到的解往往是一个相对优的解，而不是绝对最优解。
▲介绍了一个概念“结构效率系数”，这是一个有争议的概念，且在结构设计中暂时看不到应用。
